分片实验与有限元法

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分片实验与有限元法

摘要：本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用，它是近代有限元发展的一个主要特

色。得出分片试验对位移函数和应变函数的要求，这些要求便是一个好的有限元法所应保证

的；分析了几何方程弱形式与分片试验的关系，借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要

求，以及在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响；分析了精化直接刚度法、广义协调

元和双参数法如何保证分片试验的满足；最后作为位移条件的应用例子，改进了 BCIZ 元。

关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法

1 引言

连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元

[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]、拟协调元[2][3]、广义协调元[6]、双参数法[7]、精化直接刚度法

[8]等多种。有些方法在数学上已有证明，但这些方法的更为完善的证明仍是一个课题，而且其

数学证明还很难被研究力学的人们所理解。人们仍比较普遍以事后的分片试验来验证单元的收

敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论，但以往的大量实践说明：通过分片试验的单元使用起

来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同点，近期有限元的发展可以

说是以分片试验为一个主要内涵的发展。

众所周知，分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时，不可

避免的涉及了单元间的协调关系，这种协调关系与两个单元有关，文[4][5]采用了单元边界上的

公共的位移插值函数，文[9] “ ” “把这种位移插值函数成为网线函数。正式这种所谓的网线函

” 数的采用，单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决连续问题的有限元法均

有意或无意地使用了这种网线函数。本文通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。

目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变（或应

力）的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限

元法在得到应变（或应力）的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片

实验所应满足的条件。

2 分片检验的要求

因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不

协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：

(1)

其中,A ：单元域， 为位移的不协调部分,有：

(2)

为位移， 为位移的协调部分。

方程(1)可以理解为：在常内力

(3)

对(3) 式中的 项应用格林公式，并应用坐标变换公式：

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分片实验与有限元法摘要：本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用，它是近代有限元发展的一个主要特色。得出分片试验对位移函数和应变函数的要求，这些要求便是一个好的有限元法所应保证的；分析了几何方程弱形式与分片试验的关系，借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求，以及在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响；分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参数法如何保证分片试验的满足；最后作为位移条件的应用例子，改进了BCIZ元。关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法 1引言连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]...

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